旋转飞行器非线性运动稳定性判据

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作者简介：高庆丰（1979-），男，内蒙古呼和浩特人，助工，硕士，主要从事导弹总体技术研究。
通信地址：100854北京142信箱30分箱
高庆丰1，刘莉2，陈罗婧2
（1．中国航天科工集团公司 二院二部，北京100854；2.北京理工大学 飞行器工程系，北京100081）

摘要：在弹体坐标系和准弹体坐标系中建立了旋转飞行器角运动数学模型。应用李亚普诺夫第一近似理论和劳斯-霍尔维茨方法导出了旋转飞行器的非线性运动稳定性判据，这个判据可应用于有控旋转导弹的运动稳定性分析，也可应用到炮弹和火箭弹上。
关键词：旋转飞行器；非线性；稳定性
中图分类号：V412；TJ415；O242.2 TJ7611＋3;文献标识码：A文章编号：1009086X（2006）01001905

Criteria for the nonlinear dynamic stability of rotative vehicles
GAO Qingfeng1，LIU Li2，CHEN Luojing2
（1．The Second System Design Department of the Second Research Academy of CASIC，Beijing 100854，China;
2．Beijing Institute of Technology，Department of Flight Vehicle Engineering，Beijing 100081，China）

Abstract:The angular motion mathematical model of rotative vehicles is established in the body coordinate system and the quasibody coordinate system.Criteria for the nonlinear dynamic stability of rotative vehicles are derived by the Liapunov′s first method and the RouthHurwitz stability criterion,this criteria can be applied to the dynamic stability analysis of controlled rotative missiles,projectiles and rockets.
Key words:Rotative vehicle；Nonlinear；Stability

1引言
旋转飞行器是指在飞行过程中，绕其纵轴自旋的一类飞行器，通常包括小型防空导弹、反坦克导弹、炮弹和火箭弹等。
反坦克导弹有无控的起始飞行段，对这类导弹进行设计时，要对其弹体的动态特性提出稳定性要求。如果用经典的方法设计制导系统，也往往首先要研究弹体稳定性问题。而对于炮弹和火箭弹，运动稳定性更是首要的［1］。
2符号说明
a1，b1为与升力和侧向力有关的动力系数；a2，b2为与马格努斯力有关的动力系数；a3，b3为与俯仰力矩和偏航力矩有关的动力系数；a4，b4为与马格努斯力矩有关的动力系数；a5，b5为与阻尼力矩有关的动力系数；a6，b6为与转速有关的动力系数；α，β为弹体坐标系中的攻角和侧滑角；αf，βf准弹体坐标系中的攻角和侧滑角；ωz1，ωy1为弹体坐标系中的俯仰和偏航角速度；ωzf，ωyf为准弹体坐标系中的俯仰和偏航角速度；P0为发动机推力；q为动压；S为参考面积；L为参考长度；m为质量；v为速度；ωx为弹体绕纵轴的旋转角速度；ξ~为复攻角；cαy，cα3y为线性和立方升力系数导数；cαz，cα3z为线性和立方侧向力系数导数；cβy，cβz为气动交叉力系数导数；mαz，mα3z为线性和立方俯仰力矩系数导数；mβy，mβ3y为线性和立方偏航力矩系数导数；mαy，mβz为马格努斯力矩系数导数；mωzz，mωyy为俯仰阻尼和偏航阻尼力矩系数；Jx，Jy，Jz为相对弹体坐标系各轴的转动惯量；t为时间；s为弹道弧长；σ为稳定性系数。
3旋转飞行器角运动数学模型
有一类小型防空导弹，弹体在飞行中以一定的角速度绕自身纵轴旋转，采用单通道控制，由一对舵面同时控制导弹的俯仰运动和偏航运动，因此其气动外形是面对称的。
为了便于讨论，建立与弹体固联的弹体坐标系Ox1y1z1和不随弹体旋转的准弹体坐标系Oxfyf zf，它们都以弹体质心为坐标原点，弹体坐标系Ox1轴与弹体纵轴重合，向前为正，Oy1轴垂直于Ox1轴及舵轴。Oz1轴与Ox1轴和Oy1轴形成右手系。准弹体坐标系Oxf轴与Ox1轴重合，Oyf 轴垂直于Oxf 轴指向上，Ozf 轴与Oxf 轴和Oyf轴形成右手系。
现代防御技术·导弹技术高庆丰，刘莉，陈罗婧：旋转飞行器非线性运动稳定性判据现代防御技术2006年第34卷第1期忽略重力的影响，以弹体坐标系表征的自由运动中力和力矩的平衡方程分别为［2］α·
β·＋a1〖〗a2＋ωx
－（b2＋ωx）〖〗b1α
β－ωz1
ωy1＝0，（1）
ω·z1
ω·y1＝a3〖〗a4
－b4〖〗b3α
β＋
ωx－a6〖〗a5
b5〖〗－（b6－ωx）ωy1
ωz1，（2）式（1）和式（2）中：a1＝［P0＋qS（cαy＋cα3yα2）］/mv， b1＝［P0－qS（cαz＋cα3zα2）］/mv，
a2＝qScβz/mv， b2＝qScβy/mv，
a3＝qSL(mαz＋mα3z)/Jz, b3＝qSL（mβy＋mβ3y）/Jy，
a4＝qSLmαy/Jz， b4＝qSLmβz/Jy，
a5＝qSL2mωzz/Jzv， b5＝qSL2mωyy/Jyv，
a6＝（Jx/Jz）ωx， b6＝（Jx/Jy）ωx 通过坐标变换，以准弹体坐标系表征的自由运动中力和力矩的平衡方程分别为［2］ω·yf
ω·zf＋－（a5＋b5）〖〗2＋（a6－b6）〖〗2sin（2ωxt）＋（a5－b5）〖〗2cos（2ωxt）〖〗（a6＋b6）〖〗2＋（a5－b5）〖〗2sin（2ωxt）－（a6－b6）〖〗2cos（2ωxt）
－（a6＋b6）〖〗2＋（a5－b5）〖〗2sin（2ωxt）＋（a6－b6）〖〗2cos（2ωxt）〖〗－（a5＋b5）〖〗2＋（b6－a6）〖〗2sin（2ωxt）＋（a5－b5）〖〗2cos（2ωxt）
ωyf
ωzf＋（a4＋b4）〖〗2＋（a3－b3）〖〗2sin（2ωxt）－（a4－b4）〖〗2cos（2ωxt）〖〗－（a3＋b3）〖〗2－（b3－a3）〖〗2cos（2ωxt）
－（a3＋b3）〖〗2－（a3－b3）〖〗2cos（2ωxt）〖〗－（a4＋b4）〖〗2＋（a3－b3）〖〗2sin（2ωxt）－（a4－b4）〖〗2cos（2ωxt）αf
βf＝0，（3）
α·f
β·f＋（a1＋b1）〖〗2－（b1－a1）〖〗2cos（ωxt）〖〗（a2＋b2）〖〗2＋（b1－a1）〖〗2sin（2ωxt）＋（a2－b2）〖〗2cos（2ωxt）
－（a2＋b2）〖〗2＋（b1－a1）〖〗2sin（2ωxt）－（a2－b2）〖〗2cos（2ωxt）〖〗（a1＋b1）〖〗2－（b1－a1）〖〗2cos（ωxt）·
αf
βf＋0-1
-10ωyf
ωzf＝0 （4）对于面对称导弹，由于a1≠b1，a2≠b2，a3≠b3，a4≠b4，a5≠b5，a6≠b6，因而含有sin（2ωxt）和cos（2ωxt）项的系数不为0，角频率为2ωx的摆动将不可避免的存在，考虑到摆动的幅值不大，且在弹体旋转一周所产生的平均效应为0。因此，当弹体旋转频率远大于弹体扰动运动频率时，完全可把含sin（2ωxt）和cos（2ωxt）的项略去不计［2］。所以，式（3）可变为式（5），式（4）可变为式（6）。ω·yf
ω·zf＝a5＋b5〖〗2〖〗－（a6＋b6）〖〗2
a6＋b6〖〗2〖〗a5＋b5〖〗2ωyf
ωzf＋－（a4＋b4）〖〗2〖〗a3＋b3〖〗2
a3＋b3〖〗2〖〗－（a4＋b4）〖〗2αf
βf，（5）
α·f
β·f＋a1＋b1〖〗2〖〗a2＋b2〖〗2
－（a2＋b2）〖〗2〖〗a1+b1〖〗2αf
βf＋0〖〗-1
-1〖〗0ωyf
ωzf＝0 （6）对式（6）求导，可得ω·yf
ω·zf＝β¨f
α¨f＋－（a2＋b2）〖〗2〖〗a1＋b1〖〗2
a1＋b1〖〗2〖〗a2＋b2〖〗2α·f
β·f,（7）令式（5）和式（7）右端相等，同时代入式（6）可得α¨f＋（a1＋b1）－（a5＋b5）〖〗2α·f－（a3＋b3）〖〗2＋（a1＋b1）（a5＋b5）〖〗4－（a2＋b2）（a6＋b6）〖〗4αf－
－（a2＋b2）＋（a6＋b6）〖〗2β·f－（a4＋b4）〖〗2＋（a1＋b1）（a6＋b6）〖〗4＋（a2＋b2）（a5＋b5）〖〗4βf＝0,（8）
β¨f＋（a1＋b1）－（a5＋b5）〖〗2β·f－（a3＋b3）〖〗2＋（a1＋b1）（a5＋b5）〖〗4－（a2＋b2）（a6＋b6）〖〗4βf+
－（a2＋b2）＋（a6＋b6）〖〗2α·f＋（a4＋b4）〖〗2＋（a1＋b1）（a6＋b6）〖〗4＋（a2＋b2）（a5＋b5）〖〗4αf＝0 （9）将式（8）乘以虚数i再与式（9）相加，可得复数表达式ξ~¨＋（A－iB）ξ~·－（C＋iD）ξ~＝0,（10）式（10）中，定义A＝［（a1＋b1）－（a5＋b5）］/2,
B＝［－（a2＋b2）＋（a6＋b6）］/2,
C＝（a3＋b3）/2＋（a1＋b1）（a5＋b5）/4－（a2＋b2）（a6＋b6）/4,
D＝（a4＋b4）/2＋（a1＋b1）（a6＋b6）/4＋（a2＋b2）（a5＋b5）/4,
ξ~＝βf＋iαf 式（10）为复攻角在t域的微分方程。
由于式（10）的系数与速度有关，这是一变系数微分方程，为使t域角运动微分方程系数的时变性减弱，对式(10)进行数学变换，有［3］df（x）〖〗dt＝df（x）〖〗dsds〖〗dt＝vdf（x）〖〗ds，
df（x）2〖〗d2t＝v2df（x）2〖〗d2s＋v·df（x）〖〗ds （11）应用式（11），将式（10）变为ξ~″＋［（v·/v＋A－iB）/v］ξ~′－
（1/v）2（C＋iD）ξ~＝0，（12）式（12）中，定义H＝（v·/v＋A）/v,
P＝B/v,
M＝C/v2,
PT＝D/v2,式（12）可写为ξ~″＋（H－iP）ξ~′－（M＋iPT）ξ~＝0 （13）式（13）为复攻角在s域的微分方程，将H，P，M，PT展开，并忽略气动交叉项的影响，J＝Jy≈Jz，可得H（α2）＝ρS〖〗2m（cαy＋cα3yα2）－（cαz＋cα3zα2）〖〗2－mL2〖〗J（mωzz＋mωyy）〖〗2－cx－2mgsin θ〖〗ρSv2＋4P0〖〗ρSv2，
M（α2）＝ρSL〖〗2J（mαz＋mα3zα2）＋（mβy＋mβ3yα2）〖〗2＋P0L〖〗mv2（mωzz＋mωyy）〖〗2－Jxωx〖〗mvL（cβy＋cβz）〖〗2,
P＝Jx〖〗Jωx〖〗v,
T（α2）＝ρSLv〖〗4Jxωx（mαy＋mβz）＋ρS〖〗4m［（cαy＋cα3yα2）－（cαz＋cα3zα2）］＋P0〖〗mv2 反坦克导弹、炮弹和火箭弹为轴对称旋转飞行器，轴对称旋转飞行器是面对称旋转飞行器的特例。对于轴对称旋转飞行器，有a1＝b1，a2＝b2，a3＝b3，a4＝b4，〖〗a5＝b5，a6＝b6，复攻角在s域的微分方程也为ξ~″＋（H－iP）ξ~′－（M＋iPT）ξ~＝0,（14）式（14）中:H（α2）＝ρS〖〗2m（cαy＋cα3yα2）－mL2〖〗Jmωzz－cx－2mgsin θ〖〗ρSv2＋4P0〖〗ρSv2,
M（α2）＝ρSL〖〗2J（mαz＋mα3zα2）＋P0L〖〗mv2mωzz－Jxωx〖〗mvLcβz,
P＝Jx〖〗Jωx〖〗v,
T（α2）＝ρSLv〖〗2Jxωxmαy＋ρS〖〗2m（cαy＋cα3yα2）＋P0〖〗mv2 4旋转飞行器运动稳定性判据
复攻角非线性微分方程（13）在实数域的攻角非线性微分方程组为α″f＋H（α2）α′f－M（α2）αf＋Pβ′f＋PT（α2）βf＝0,
β″f＋H（α2）β′f－M（α2）βf－Pα′f-PT（α2）αf＝0 （15）非线性微分方程组（15）是一个含有3个非线性函数，1个常数的四阶微分方程组，判断其解的稳定性十分困难［4］。应用李亚普诺夫第一近似理论，对于非线性微分方程组，如果其线性化微分方程组之特征方程的所有特征根均有负实部，则非线性微分方程组的原点渐进稳定［5］。所以，可通过线性化

微分方程组的稳定性来判断非线性微分方程组的稳定性。非线性微分方程组（15）的线性化微分方程组为α″f＋Hα′f－Mαf＋Pβ′f＋PTβf＝0,
β″f＋Hβ′f－Mβf－Pα′f-PTαf＝0,（16）式（16）中:H＝ρS〖〗2m（cαy－cαz）〖〗2－mL2〖〗J（mωzz＋mωyy）〖〗2－cx－2mgsin θ〖〗ρSv2＋4P0〖〗ρSv2,
M＝ρSL〖〗2J（mαz＋mβy）〖〗2＋P0L〖〗mv2（mωzz＋mωyy）〖〗2－Jxωx〖〗mvL（cβy＋cβz）〖〗2,
P＝Jx〖〗Jωx〖〗v,
T＝ρSLv〖〗4Jxωx（mαy＋mβz）＋ρS〖〗4m（cαy－cαz）＋P0〖〗mv2 
首先，通过数学变换（11），微分方程组（16）的系数时变性减弱了。其次，采用系数冻结法，在不长的弹道区间内，微分方程组（16）的系数可视为常数。所以，线性化微分方程组（16）可看作线性定常系统，其特征方程为λ4＋h1λ3＋h2λ2＋h3λ＋h4＝0,（17）式（17）中:h1＝2H；h2＝P2＋H2－2M；h3＝2（P2T－MH）；h4＝M2＋（PT）2。
由劳斯-霍尔维茨方法可知，特征方程（17）全部根的实部都为负值的充要条件是下列条件成立［6］：h1＞0，h2＞0，h3＞0，h4＞0,
h1h2-h3＞0,
h1h2-h3＞h21h4/h3 （18）根据条件（18)，代入hi关系式后，整理可得H＞0,
P2T－MH＞0,
（P2＋H2/P2）［H（P2T－MH）－（PT）2］＞0 （19）式（19）中，第二式由第一、第三式成立而自然满足，与式（19）等价的条件变为H＞0,
H（P2T－MH）－（PT）2＞0 （20）式（20）中的第二式可化为0＜σ＝（2PT－PH）2〖〗H2（P2－4M）＜1 （21） 所以，面对称旋转飞行器运动稳定性判据为0＜σ＜1，由σ不仅可判断是否满足运动稳定性判据，而且能够反映出稳定性的好坏，σ越小，稳定性越好［7］。同理，可得到轴对称旋转飞行器的运动稳定性判据也为0＜σ＝（2PT－PH）2〖〗H2（P2－4M）＜1,（22）式（22）中：

H＝ρS〖〗2mcαy－mL2〖〗Jmωzz－cx－2mgsin θ〖〗ρSv2＋4P0〖〗ρSv2，
M＝ρSL〖〗2Jmαz＋P0L〖〗mv2mωzz－Jxωx〖〗mvLcβz,
P＝Jx〖〗Jωx〖〗v,
T＝ρSLv〖〗2Jxωxmαy＋ρS〖〗2mcαy+P0〖〗mv2 
5结束语
本文得到的旋转飞行器非线性运动稳定性判据具有很强的通用性，对面对称和轴对称的旋转飞行器都是适用的，不但适合于分析旋转导弹和主动段火箭弹，也适合于分析炮弹和被动段火箭弹。
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